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神秘四位數~~
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發問:
一個四位數的質因數連乘式是 a*a*b,若把b的數字左右倒轉則是a的2倍。 請問符合以上條件的四位數有多少個?解釋你的答案。 更新: 請不要假設b是兩位數! 更新 2: 請提出一種盡量縮小試驗範圍的方法。謝謝! 更新 3: matthias_pat朋友,可否改良一下方法,例如不用試那麼多數的? 更新 4: 為什麼假設b是兩位數? 更新 5: matthias_pat朋友,「左右倒轉」應改為「左至右倒轉」,sorry for mistake! 另外,『50*50*100 = 250,000 > 所有四位數』這句的50何來?你是否不記得『左至右倒轉』?你的證明錯了。 另外請不要假設b>a,雖然質因數連乘式習慣由小至大排列。 請不要嫌我「Law 梳」,我只是追求嚴謹,並不是有心留難你。 更新 6: 我明了,你的證明沒有錯!對不起!不過可唔可以不假設b>a來證? 更新 7: matthias_pat朋友: 很高興終於看到你的嚴謹證明了!而且是兩種證法哩,十分佩服 !尤其是第一個證法,運用了211恰是可除以2的最小三位質數,而且倒讀 是112,明顯亦是除以2後可得a值的最下界(最妙之處!)56的性質,得出三數相乘的下界已經大於四位數的結論,一語道破,妙! 之所以說妙,因為這是一個特殊情況才可這樣證,如果最小合條件質數是217(不是質數,只作舉例)的話,倒讀712除以2後就不能說是 a的下界,從而沒有以上的證明。 另一證明適用於更普遍的情況。Good! 更新 8: 最後分享一個剛想到的解法: 22*22*22=10648>四位,因此 a,b其一必是19或以下之質數,明顯這些質數不會是倒讀除以2的那個,因此將這些質數(a的可能)乘2倒讀,得另一質數(所對應b的值),再逐一試驗,得出只有7*7*41 = 2009符合條件。 後記: 一個可令本題難度稍增而結論不變的問法: 『一個四位數的質因數連乘式是 a*a*b或b*a*a,若把a,b其中一個的數字倒讀則是另一個的2倍。』 請問符合以上條件的四位數有多少個?解釋你的答案。 有空可繼續試試。非常感謝你的出色解答以及對嚴謹態度的認同,祝願你在知識交流中獲得喜悅及進步!
最佳解答:
只得 1 個. 就是 7*7*41 = 2009. 解釋 : 由於 b 是兩位質數, 而 b 的數字左右倒轉則是 a 的 2倍. 因此, 為了得出 a 是整數, b 的十位數一定是雙數. 測試所有十位為雙數的兩位質數 : 當 b = 23, a = 16. 不對! (a 不是質數.) 當 b = 29, a = 46. 不對! (a 不是質數.) 當 b = 41, a = 7. 對! 當 b = 43, a = 17. 不對! (得出五位數.) 當 b = 47, a = 37. 不對! (得出五位數.) 當 b = 61, a = 8. 不對! (a 不是質數.) 當 b = 67, a = 38. 不對! (a 不是質數.) 當 b = 83, a = 19. 不對! (得出五位數.) 當 b = 89, a = 49. 不對! (a 不是質數.) 2009-02-05 10:25:17 補充： 題目中的 "b 的數字左右倒轉" 令我聯想到 b 只會是兩位數. 若 b 是一, 三或四位數的話, 請你定義"b 的數字左右倒轉"的意思. 另外, 9 組測試我覺得並不算多. 2009-02-05 11:02:18 補充： 證明 : b 只可能是兩位數. 若 b 是一位數, a a*a*b 所有四位數 因此, b 不可能小於或等於 9 並且不可能大於或等於 100. 由此得出, b 只可能是兩位數. 2009-02-06 12:25:24 補充： 證明 : b 只可能是兩位質數. 為了得出 a 是整數, b 的最大位的數字一定是雙數. 若 b 是一位質數, 它只可能是 2, 那麼 a 便是 1. (不是質數!) 若 b 是三位或更多位的質數, 那麼 b 的最小可能是 211. 56*56*211 = 661,696 > 所有四位數 另外, 若 b > 211, a 一定是兩位或更多位的質數. 假設 a 是 11 (最小的兩位質數), 11*11*211 = 25,531 > 所有四位數 因此, 若 b 是三位或更多位的質數, 那麼 a*a*b 一定大於所有四位數. 由此得出, b 只可能是兩位質數. 2009-02-06 12:43:09 補充： tonyleung052 朋友 : 對不起, 是我太大意了. 大家都是對數學認真的, 一起嚴謹吧! 以上是我的更正. 2009-02-07 10:39:54 補充： 其實, 56 並不是 a 的下界. 據我所知, 當 b = 401, a = 52 就是更小的可能. 因此, 我才需要有其後的補證. 否則便是不完整了. 你的證明比我的更為簡潔, 而且所要測試的組數比我的少. 對於你的數學才華, 在下實在佩服. 2009-02-07 10:55:59 補充： 我只把注意力集中在 b 之上, 忽略了其他方面. 然而, 集師廣益, 從其他人得知更多不同角度的意見, 實在使我獲益良多. 謝謝.
其他解答:
7*7*41=2009
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