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數學知識交流--Fibonacci Sequence
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Fibonacci Sequence即： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...這數列。 問題1：這數列第n項是多少？ 問題2：為何把這數列中相鄰的兩項前者除以後者會得到越來越接近黃金比例的比值？(如：55/89=0.6179...., 196418/317811=0.6180.....)
最佳解答:
Fibonacci Sequence即： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，..這數列。 問題1：這數列第n項是多少？ 問題2：為何把這數列中相鄰的兩項前者除以後者會得到越來越接近黃金比例 的比值？(如：55/89=0.6179....，196418/317811=0.6180.....) Sol a(1)= 1 a(2)= 1 a(3)=2 ............ a(n+2)=a(n+1)+a(n) a(2)=a(1)+a(0) 1=1+a(0) a(0)= 0 a(n+2)=a(n+1)+a(n) 由差分方程 E^2=E^1+E^0 E^2－E－1=0 E=(1+/-√5)/2 Set p=(1+√5)/2，q=(1－√5)/2 E=p or E=q p－q=√5 So a(n)=c1*p^n+c2*q^n a(0)=c1+c2= 0 a(1)=c1*p+c2*q=1 (pc1+qc2)－q(c1+c2)=1 (p－q)c1=1 √ 5c 1= 1 c1=√5/ 5 c2=－√5/ 5 a(n)=(√5/5)*[(1+√5)/2]^n－(√5/5)*[(1－√5)/2]^n when n->∞ =>([(1-√5)/2]^n->0) lim(n->∞)_a(n)/a(n+1) =lim(n->∞)_[(√5/5)*[(1+√5)/2]^(n)]/[(√5/5)*[(1+√5)/2]^(n+1)] =1/[(1+√5)/2]=(√5－1)/2
數學知識交流--Fibonacci Sequence
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Fibonacci Sequence即： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...這數列。 問題1：這數列第n項是多少？ 問題2：為何把這數列中相鄰的兩項前者除以後者會得到越來越接近黃金比例的比值？(如：55/89=0.6179...., 196418/317811=0.6180.....)
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Fibonacci Sequence即： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，..這數列。 問題1：這數列第n項是多少？ 問題2：為何把這數列中相鄰的兩項前者除以後者會得到越來越接近黃金比例 的比值？(如：55/89=0.6179....，196418/317811=0.6180.....) Sol a(1)= 1 a(2)= 1 a(3)=2 ............ a(n+2)=a(n+1)+a(n) a(2)=a(1)+a(0) 1=1+a(0) a(0)= 0 a(n+2)=a(n+1)+a(n) 由差分方程 E^2=E^1+E^0 E^2－E－1=0 E=(1+/-√5)/2 Set p=(1+√5)/2，q=(1－√5)/2 E=p or E=q p－q=√5 So a(n)=c1*p^n+c2*q^n a(0)=c1+c2= 0 a(1)=c1*p+c2*q=1 (pc1+qc2)－q(c1+c2)=1 (p－q)c1=1 √ 5c 1= 1 c1=√5/ 5 c2=－√5/ 5 a(n)=(√5/5)*[(1+√5)/2]^n－(√5/5)*[(1－√5)/2]^n when n->∞ =>([(1-√5)/2]^n->0) lim(n->∞)_a(n)/a(n+1) =lim(n->∞)_[(√5/5)*[(1+√5)/2]^(n)]/[(√5/5)*[(1+√5)/2]^(n+1)] =1/[(1+√5)/2]=(√5－1)/2
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