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標題:
兩條F.4 Maths
發問:
26.己知a、b是一個二次方程的根。若(a+2b)(b+2a)=-4及a^2+b^2=13，試求該二次方程。 30. 已知a、b是二次方程x^2+px+q=0的根，而a-3b、b-3a是二次方程x^2-12x+q=0的根，其中p、q為常數。 a)試求p的值。 b)由此求q的值。 更新: 26.x^2+x-6=0或x^2-x-6=0 30. a)6 b)36/5
最佳解答:
26.己知a、b是一個二次方程的根。若(a+2b)(b+2a)=-4及a2+b2=13，試求該二次方程。 已知 (a+2b)(b+2a) = -4 ... (1) a2 + b2 = 13 ... (2) 由 (1). ab + 2a2 + 2b2 + 4ab = -4 5ab + 2(a2 + b2) = -4 5ab + 2(13) = -4 【應用 (2)】 5ab + 26 = -4 5ab = -30 ab = -6 ..... (3) 由 (2), a2 + b2 = 13 a2 + 2ab + b2 - 2ab = 13 (a+b)2 - 2ab = 13 (a+b)2 - 2(-6) = 13 【應用 (3)】 (a+b)2 + 12 = 13 (a+b)2 = 1 a+b = ±1 如 a+b = 1 和 ab = -6, 二次方程是： x2 - 1x - 6 = 0 即是 x2 - x - 6 = 0 如 a+b = -1 和 ab = -6, 二次方程是： x2 - (-1)x - 6 = 0 即是 x2 + x - 6 = 0 所以二次方程是 x2 - x - 6 = 0 或 x2 + x - 6 = 0。 ===================================================== 30. 已知a、b是二次方程 x2+px+q = 0 的根，而a-3b、b-3a是二次方程x2-12x+q=0的根，其中p、q為常數。 a)試求p的值。 因為 a、b是二次方程 x2 + px + q = 0 的根 a + b = -p/1 a + b = -p ..... (1) ab = q/1 ab = q ..... (2) 因為 a-3b、b-3a 是二次方程 x2 - 12x + q = 0 的根 (a-3b) + (b-3a) = -(-12)/1 a - 3b + b - 3a = 12 -2a - 2b = 12 a + b = -6 ..... (3) 由 (1) 及 (3)， -p = -6 p = 6 ..... (4) b)由此求q的值。 因為 a-3b、b-3a 是二次方程 x2 - 12x + q = 0 的根 (a-3b)(b-3a) = q/1 ab - 3a2 - 3b2 + 9ab = q -3(a2 + b2) + 10ab = q -3(a2 + 2ab + b2) + 6ab + 10ab = q -3(a+b)2 + 16ab = q -3(-6)2 + 16(q) = q 【應用 (2), (4)】 -3(36) + 16q = q -108 = -15q q = 36/5 2007-01-06 15:12:21 補充： 補充：二次方程 ax2 + bx + c = 0，根和 = -b/a根積 = c/a所以當你知道二次方程，你可以知道根和及根積。相反當你知道根和及根積，你可以重寫二次方程出來。
第一題其實是要你求出 a+b 和 ab 因為一條根是 a,b 的二次方程，該方程是 x^2 - (a+b)x + ab = 0 解法： (a+2b)(b+2a)=-4 -------------- 拆括號 2(a^2 + b^2) + 5ab = -4 ----代入a^2+b^2=13 2(13) + 5ab = -4 ab = -6 a^2+b^2=13 ----------------- 這兒有點複雜，請留心 a^2+b^2+2ab-2ab=13 ---- a^2+b^2+2ab≡(a+b)^2 (a+b)^2 - 2ab = 13 ----------代入剛才所計的 ab = -6 (a+b)^2 - 2(-6) =13 (a+b)^2 = 1 a+b = ±1 現在有了這兩個要素，就可以寫條式出來 x^2 - (1)x + (-6) = 0 or x^2 - (-1)x + (-6) = 0 x^2 - x - 6 = 0 or x^2 + x - 6 = 0 第一題就是這樣解啦！~
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26.己知a、b是一個二次方程的根。若(a+2b)(b+2a)=-4及a^2+b^2=13，試求該二次方程。 30. 已知a、b是二次方程x^2+px+q=0的根，而a-3b、b-3a是二次方程x^2-12x+q=0的根，其中p、q為常數。 a)試求p的值。 b)由此求q的值。 更新: 26.x^2+x-6=0或x^2-x-6=0 30. a)6 b)36/5
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26.己知a、b是一個二次方程的根。若(a+2b)(b+2a)=-4及a2+b2=13，試求該二次方程。 已知 (a+2b)(b+2a) = -4 ... (1) a2 + b2 = 13 ... (2) 由 (1). ab + 2a2 + 2b2 + 4ab = -4 5ab + 2(a2 + b2) = -4 5ab + 2(13) = -4 【應用 (2)】 5ab + 26 = -4 5ab = -30 ab = -6 ..... (3) 由 (2), a2 + b2 = 13 a2 + 2ab + b2 - 2ab = 13 (a+b)2 - 2ab = 13 (a+b)2 - 2(-6) = 13 【應用 (3)】 (a+b)2 + 12 = 13 (a+b)2 = 1 a+b = ±1 如 a+b = 1 和 ab = -6, 二次方程是： x2 - 1x - 6 = 0 即是 x2 - x - 6 = 0 如 a+b = -1 和 ab = -6, 二次方程是： x2 - (-1)x - 6 = 0 即是 x2 + x - 6 = 0 所以二次方程是 x2 - x - 6 = 0 或 x2 + x - 6 = 0。 ===================================================== 30. 已知a、b是二次方程 x2+px+q = 0 的根，而a-3b、b-3a是二次方程x2-12x+q=0的根，其中p、q為常數。 a)試求p的值。 因為 a、b是二次方程 x2 + px + q = 0 的根 a + b = -p/1 a + b = -p ..... (1) ab = q/1 ab = q ..... (2) 因為 a-3b、b-3a 是二次方程 x2 - 12x + q = 0 的根 (a-3b) + (b-3a) = -(-12)/1 a - 3b + b - 3a = 12 -2a - 2b = 12 a + b = -6 ..... (3) 由 (1) 及 (3)， -p = -6 p = 6 ..... (4) b)由此求q的值。 因為 a-3b、b-3a 是二次方程 x2 - 12x + q = 0 的根 (a-3b)(b-3a) = q/1 ab - 3a2 - 3b2 + 9ab = q -3(a2 + b2) + 10ab = q -3(a2 + 2ab + b2) + 6ab + 10ab = q -3(a+b)2 + 16ab = q -3(-6)2 + 16(q) = q 【應用 (2), (4)】 -3(36) + 16q = q -108 = -15q q = 36/5 2007-01-06 15:12:21 補充： 補充：二次方程 ax2 + bx + c = 0，根和 = -b/a根積 = c/a所以當你知道二次方程，你可以知道根和及根積。相反當你知道根和及根積，你可以重寫二次方程出來。
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其他解答:第一題其實是要你求出 a+b 和 ab 因為一條根是 a,b 的二次方程，該方程是 x^2 - (a+b)x + ab = 0 解法： (a+2b)(b+2a)=-4 -------------- 拆括號 2(a^2 + b^2) + 5ab = -4 ----代入a^2+b^2=13 2(13) + 5ab = -4 ab = -6 a^2+b^2=13 ----------------- 這兒有點複雜，請留心 a^2+b^2+2ab-2ab=13 ---- a^2+b^2+2ab≡(a+b)^2 (a+b)^2 - 2ab = 13 ----------代入剛才所計的 ab = -6 (a+b)^2 - 2(-6) =13 (a+b)^2 = 1 a+b = ±1 現在有了這兩個要素，就可以寫條式出來 x^2 - (1)x + (-6) = 0 or x^2 - (-1)x + (-6) = 0 x^2 - x - 6 = 0 or x^2 + x - 6 = 0 第一題就是這樣解啦！~
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