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標題:
數學知識交流 － 數學雜題 (1)
發問:
(1) 求數列 1 , 1 , 2 , 5 , 14 , 42 , 132 , 429 , 1430 , 4862 , 16796 , 58786, ... 的(a) 通項。(b) 第四、七、十三及二十七項。(2a) 解方程 56x^3 + 218x^2 + 17x - 210。(2b) 從 (2a)，解方程 56(y^3-3y^2+3y-1) + 218(y^2-2y+1) + 17(y-1) - 210。(3) 求 g[f(m)] 若 f(x) = (x+m)(x+6) , f(9) = 30 , g(x) = 8(8+x)。(4) 求(a) 7!(b) 8! - 7!(c)... 顯示更多 (1) 求數列 1 , 1 , 2 , 5 , 14 , 42 , 132 , 429 , 1430 , 4862 , 16796 , 58786, ... 的 (a) 通項。 (b) 第四、七、十三及二十七項。 (2a) 解方程 56x^3 + 218x^2 + 17x - 210。 (2b) 從 (2a)，解方程 56(y^3-3y^2+3y-1) + 218(y^2-2y+1) + 17(y-1) - 210。 (3) 求 g[f(m)] 若 f(x) = (x+m)(x+6) , f(9) = 30 , g(x) = 8(8+x)。 (4) 求 (a) 7! (b) 8! - 7! (c) (8!-7!)/4! (d) 2!! (e) 3!! (f) 5!! (g) 8!! (h) 0!! (i) (-1)!!
(1) 求數列1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, ... 的 (a) 通項。 (b) 第四、七、十三及二十七項。 解：這是有名的卡塔蘭數，通項是Cn = (2n)! / [(n+1)! n!]。 第四項是：C4 = (2×4)! / [(4+1)! × 4!] = 8! / (5! × 4!) = 14. 第七項是：C7 = (2×7)! / [(7+1)! × 7!] = 14! / (8! × 7!) = 429. 第十三項是：C13 = (2×13)! / [(13+1)! × 13!] = 26! / (14! × 13!) = 742900. 第二十七項是：C27 = (2×27)! / [(27+1)! × 27!] = 54! / (28! × 27!) = 69533550916004.(2a) 解方程 56x3 + 218x2 + 17x - 210 = 0。 解：56x3 + 218x2 + 17x - 210 = 0 8x2-----38x------35 -----7x---------6 (8×7 = 56，8×(-6) + 38×7 = 218，35×7 + 38×(-6) = 17，35×(-6) = -210) (8x2 + 38x + 35)(7x - 6) = 0 (2x + 7)(4x + 5)(7x - 6) = 0 ∴ x1 = -7/2，x2 = -5/4，x3 = 6/7. (2b) 從 (2a)，解方程 56(y3-3y2+3y-1) + 218(y2-2y+1) + 17(y-1) - 210。 解：56(y3-3y2+3y-1) + 218(y2-2y+1) + 17(y-1) - 210 = 0 56(y-1)3 + 218(y-1)2 + 17(y-1) - 210 = 0 把(y-1)看作(2a)中的x，則 y - 1 = -7/2 或 -5/4 或 6/7 ∴ y1 = -5/2，y2 = -1/4，y3 = 13/7.(3) 求 g[f(m)] 若 f(x) = (x+m)(x+6) , f(9) = 30 , g(x) = 8(8+x)。 解：f(x) = (x+m)(x+6) f(9) = (9+m)(9+6) = 15(9+m) = 30，m = -7 so f(x) = (x-7)(x+6) and g(x) = 8(x+8) so g[f(m)] = g[(m-7)(m+6)] = g[(-7-7)(-7+6)] = g(14) = 8(14+8) = 176(4) 求 (a) 7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5040 (b) 8! - 7! = 7! × 8 - 7! = 5040 × 8 - 5040 = 35280 (c) (8!-7!)/4! = 35280 / (4×3×2×1) = 1470 (d) 2!! = 2 (e) 3!! = 3 × 1 = 3 (f) 5!! = 5 × 3 × 1 = 15 (g) 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384 (h) 0!! = 1 (i) (-1)!! = 1
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(1) 求數列 1 , 1 , 2 , 5 , 14 , 42 , 132 , 429 , 1430 , 4862 , 16796 , 58786, ... 的(a) 通項。(b) 第四、七、十三及二十七項。(2a) 解方程 56x^3 + 218x^2 + 17x - 210。(2b) 從 (2a)，解方程 56(y^3-3y^2+3y-1) + 218(y^2-2y+1) + 17(y-1) - 210。(3) 求 g[f(m)] 若 f(x) = (x+m)(x+6) , f(9) = 30 , g(x) = 8(8+x)。(4) 求(a) 7!(b) 8! - 7!(c)... 顯示更多 (1) 求數列 1 , 1 , 2 , 5 , 14 , 42 , 132 , 429 , 1430 , 4862 , 16796 , 58786, ... 的 (a) 通項。 (b) 第四、七、十三及二十七項。 (2a) 解方程 56x^3 + 218x^2 + 17x - 210。 (2b) 從 (2a)，解方程 56(y^3-3y^2+3y-1) + 218(y^2-2y+1) + 17(y-1) - 210。 (3) 求 g[f(m)] 若 f(x) = (x+m)(x+6) , f(9) = 30 , g(x) = 8(8+x)。 (4) 求 (a) 7! (b) 8! - 7! (c) (8!-7!)/4! (d) 2!! (e) 3!! (f) 5!! (g) 8!! (h) 0!! (i) (-1)!!
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最佳解答:(1) 求數列1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, ... 的 (a) 通項。 (b) 第四、七、十三及二十七項。 解：這是有名的卡塔蘭數，通項是Cn = (2n)! / [(n+1)! n!]。 第四項是：C4 = (2×4)! / [(4+1)! × 4!] = 8! / (5! × 4!) = 14. 第七項是：C7 = (2×7)! / [(7+1)! × 7!] = 14! / (8! × 7!) = 429. 第十三項是：C13 = (2×13)! / [(13+1)! × 13!] = 26! / (14! × 13!) = 742900. 第二十七項是：C27 = (2×27)! / [(27+1)! × 27!] = 54! / (28! × 27!) = 69533550916004.(2a) 解方程 56x3 + 218x2 + 17x - 210 = 0。 解：56x3 + 218x2 + 17x - 210 = 0 8x2-----38x------35 -----7x---------6 (8×7 = 56，8×(-6) + 38×7 = 218，35×7 + 38×(-6) = 17，35×(-6) = -210) (8x2 + 38x + 35)(7x - 6) = 0 (2x + 7)(4x + 5)(7x - 6) = 0 ∴ x1 = -7/2，x2 = -5/4，x3 = 6/7. (2b) 從 (2a)，解方程 56(y3-3y2+3y-1) + 218(y2-2y+1) + 17(y-1) - 210。 解：56(y3-3y2+3y-1) + 218(y2-2y+1) + 17(y-1) - 210 = 0 56(y-1)3 + 218(y-1)2 + 17(y-1) - 210 = 0 把(y-1)看作(2a)中的x，則 y - 1 = -7/2 或 -5/4 或 6/7 ∴ y1 = -5/2，y2 = -1/4，y3 = 13/7.(3) 求 g[f(m)] 若 f(x) = (x+m)(x+6) , f(9) = 30 , g(x) = 8(8+x)。 解：f(x) = (x+m)(x+6) f(9) = (9+m)(9+6) = 15(9+m) = 30，m = -7 so f(x) = (x-7)(x+6) and g(x) = 8(x+8) so g[f(m)] = g[(m-7)(m+6)] = g[(-7-7)(-7+6)] = g(14) = 8(14+8) = 176(4) 求 (a) 7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5040 (b) 8! - 7! = 7! × 8 - 7! = 5040 × 8 - 5040 = 35280 (c) (8!-7!)/4! = 35280 / (4×3×2×1) = 1470 (d) 2!! = 2 (e) 3!! = 3 × 1 = 3 (f) 5!! = 5 × 3 × 1 = 15 (g) 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384 (h) 0!! = 1 (i) (-1)!! = 1
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