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數學知識交流---求值(1)
發問:
(1) 求 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + ... -147573952589676412928 的值。 (2) 求 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + ... + 2^100 的值。
最佳解答:
第一題 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + ... -147573952589676412928 =1-2^1+2^2-2^3+2^4-2^5+...-2^67 =(1+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^67)+(-2^1-2^3-2^5-...-2^67)+(-2^1-2^3-2^5-...-2^67) =(1+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^67)-2(2^1+2^3+2^5+...+2^67) =1*(1-2^68)/(1-2) -2*2*(1-2^68)/(1-2^2) =2^68-1 -(4/3)*(2^68-1) =-(1/3)*(2^68-1) =-(147573952589676412928*2-1)/3 可自己計算寫出 第二題 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + ... +2^100 =1-2^1+2^2-2^3+2^4-2^5+...+2^100 =(1+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^100)+(-2^1-2^3-2^5-...-2^99)+(-2^1-2^3-2^5-...-2^99) =(1+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^100)-2(2^1+2^3+2^5+...+2^99) =1*(1-2^100)/(1-2) -2*2*(1-2^101)/(1-2^2) =2^100-1 -(4/3)*(2^101-1) 約等於-2.112751*10^30 科學記數法 上面兩題均用了級數數列之和的公式運算
其他解答:
(1) 解：1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + ... - 147573952589676412928 = - [ ( 2-1 ) + ( 8-4 ) + ( 32-16 ) + ... + ( 2??-2??) ] = - ( 4?+ 41 + 42 + ... + 433 ) 設 S = 4?+ 41 + 42 + ... + 433 則 4S = 41 + 42 + ... + 433 + 43? 4S - S = 43?- 4? 3S = 43?- 1 S = (43?- 1) / 3 所以原式 = - (43?- 1) / 3
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